高等数学之导数篇

线性代数的学习基本就先告一个段落了，接着学最重要的微积分，高等数学里的重中之重，也是近代科学的发展利器，微积分主要包括包括极限、微分学、积分学及其应用，而微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。研究函数的变化规律，推导事物发展的趋势走向是它的拿手好戏，印象里，上学时，学习的顺序是，数列，极限，函数，导数，微分，积分，当然也有很多数学家说先学积分，因为积分直观比较容易被理解。

1. 导数的定义

数学定义：设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$时，相应的函数取得增量$\Delta y=f(x0+\Delta x)-f(x_0)$；如果$\Delta y$与$\Delta x$之比当$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f^{\prime }(x_0)$，即
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
也可以记作$y^{\prime }{\mid }_{x=x_0},\frac{dy}{dx}{\mid }_{x=x_0},\frac{df(x)}{dx}{\mid }_{x=x_0}$

导数的实质：导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

2. 导函数的定义

函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导也说成$y=f(x)$在点$x_0$具有导数或导数存在。
上面是讲在一个点上可导，如果函数$y=f(x)$在一个区间内每一点都可导，也就是说如果函数$y=f(x)$对每一点都有一个确定的导数值，那么就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原函数的导函数，记作$f^{\prime }(x),y^{\prime },\frac{dy}{dx},\frac{df(x)}{dx}$，导函数也简称导数，而$f^{\prime }(x_0)$是$f(x)$在$x_0$处的导数，或导数$f^{\prime }(x)$在$x_0$处的值。
$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

3. 常用的求导基本公式

• $C^{\prime }=0,C\in R$
• $(nx{)}^{\prime }=n,n\in R$
• $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1},n\in R$
• $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
• $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

例题：求$\frac{1}{x}$的导数

解：$(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=(x^{-1}{)}^{\prime }=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

4. 求导基础法则

设$u=u(x)$和$v=v(x)$都可导，则

• 加减法：$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
• 乘法：$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
• 数乘：$(Cv{)}^{\prime }=C{v}^{\prime }$
• 除法：$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })}{v^2}$
• 链式求导：
  若$u=u(x)$在x点可导，$y=f(u)$在u点可导，则$y=f(u(x))$在x点可导，其导数为：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$。
• 隐函数微分法：
  不容易表示为$y=f(x)$的函数称为隐函数。
  例如：
  $$x^2+y^2=1,y>0,求\frac{dy}{dx}?$$
  解：等式两侧同时对x求导
  $$\begin{gathered} (x^2{)}^{\prime }+(y^2{)}^{\prime }=1^{\prime } \\ 2x+2y{y}^{\prime }=0 \\ {y}^{\prime }=\frac{-x}{y}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \end{gathered}$$
• 指数函数的导数：$(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna,a\in R$

5. 高阶导数

高阶导数就是导数的导数，它的意义大概就是变化率的变化率的无穷变化率。

• 二阶导数：$f^{\prime \prime }$
• 三阶导数：$f^{\prime \prime \prime }=(\frac{d}{dx}{)}^{3}f=\frac{d^{3}f}{(dx{)}^3}=D^{3}f$
• 四阶导数：$f^{(4)}$

6. python计算代码

import sympy as sp

if __name__ == '__main__':
    # 定义自变量x,表示对x求导
    x = sp.symbols('x', real=True)

    f1 = 2*x + 1
    derivative = sp.diff(f1, x)
    print('f1=%s' % derivative)

    f2 = x**2+4
    derivative = sp.diff(f2, x)
    print('f2=%s' % derivative)

    f3 = sp.sin(x)
    derivative = sp.diff(f3, x)
    print('f3=%s' % derivative)

    # 求高阶导数
    f4 = x**10
    for n in range(1,12):
        # 计算n阶导数
        D = sp.diff(f4, x, n)
        print('D%d=%s' % (n, D))

运行截图：