一些前置知识

1.模糊数学的基本思想：用属于程度代替属于或不属于。

集合的特征函数：设A是论域U上的一个集合，对任意 u∈U，令：
$$C_A(u)=\{\begin{array}{ll}1& 如果u\in A\\ 0& 如果u\notin A\end{array}$$
则称CA (u)为集合A的特征函数。

集合A与其特征函数可以认为是等价的：
A = { u ∣ C a ( u ) = 1 } A = \{u |C_a(u)=1 \} A={u∣Ca​(u)=1}

2.模糊集合

论域U中的模糊集F用一个在区间[0,1]的取值的隶属函数来表示，即：
$${\mu }_F:U\to [0,1]$$
其中μ_F称为F的隶属函数，μ_F(u) 称为u对A的隶属度。

3.模糊集合的表示方法

对于向量表示法，隶属度为0的项不可省略。

4.集合运算

模糊集合是利用集合中的特征函数或者隶属度函数来定义和操作的，A、B是U中的两个模糊子集，隶属度函数分别为 μ_A和 μ_B。

B ⊆ A：设A,B是论域U的模糊集，即A , B ∈ F (U )，若任一u∈U，都有μ_B(u) ≤ μ_A(u)，则称B包含于A；

B = A：设A,B是论域U的模糊集，即A , B ∈ F (U )，若任一u∈U，都有μ_B(u) = μ_A(u)，则称B包含于A；

A ∪ B ：μ_A∪B = μ_A(u) ∨ μ_B(u)

A ∩ B ：μ_A∩B = μ_A(u) ∧ μ_B(u)

补：μ_A非(u) = 1 - μ_A(u)

5.模糊集的截集

6.模糊度

模糊度的含义：

1.是[0,1]上一个数；

2.普通集合的模糊度是0，表示所刻画的概念不模糊；

3.越靠近0.5就越模糊，当μA (u)＝0.5时最模糊；

4.模糊集A与其补集¬A有相同的模糊度；

计算模糊度的方法

7.模糊数

8.模糊关系

普通集合上定义的“关系”都是确定性关系

模糊关系的笛卡尔积

模糊关系的合成

模糊矩阵R和S分别代表：子女与父母的长相的相似关系、父母与祖父母的相似关系

9.模糊推理

模糊命题：含有模糊概念、模糊数据的语句。

一般表示形式为：x is A 或者 x is A(CF)。

A是模糊概念或者模糊数，用相应的模糊集及隶属函数刻画； x是论域上的变量，用以代表所论述对象的属性； CF是该模糊命题的可信度，它既可以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或者模糊语言值。

模糊语言值是指表示大小、长短、多少等程度的一些词汇。如：极大、很大、相当大、比较大。模糊语言值同样可用模糊集描述。

模糊知识的表示

模糊匹配和冲突消解

1. 贴近度

2. 语义距离

3. 相似度

4. 匹配度举例

5. 复合条件的模糊匹配

1. 分别计算出每一个子条件与其证据的匹配度

2. 求出整个前提条件与证据的总匹配度。目前常用的方法有 “取极小” 和 “相乘” 等

3. 检查总匹配度是否满足阈值条件，如果满足就可以匹配，否则为不可匹配。

举例：

求匹配度的加权平均值：

按广义顺序关系排序

构造模糊关系

模糊推理的基本模式：

• 模糊假言推理：

  

  

• 模糊拒取式推理
  

知识中只含有简单条件，且不带可信度因子的模糊推理称为简单模糊推理

1. 扎德方法

扎德提出了两种方法：一种称为条件命题的极大极小规则； 另一种称为条件命题的算术规则，由它们获得的模糊关系分别记为Rm和Ra。

举例：

2. Mamdani方法

3. Mizumoto方法

米祖莫托等人根据多值逻辑中计算T(AB)的定义，提出了一组构造模糊关系的方法，分别记为Rs ,Rg ,Rsg,Rgs,Rgg,Rss等等。

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模糊判决方法

在推理得到的模糊集合中取一个相对最能代表这个模糊集合的单值的过程就称作解模糊（去模糊）或模糊判决(Defuzzification)

下面介绍各种模糊判决方法，并以“水温适中” 为例，说明不同方法的计算过程。

假设“水温适中”的模糊集合为：

F = 0.0/0 + 0.0/10 + 0.33/20 + 0.67/30 + 1.0/40 + 1.0/50 + 0.75/60 + 0.5/70 + 0.25/80 + 0.0/90 + 0.0/100

1. 重心法

2. 最大隶属度法

隶属函数曲线是单峰曲线：在推理结论的模糊集合中取隶属度最大元素作为输出量；

梯形平顶曲线（最大隶属度的元素不只一个）：取最大隶属度的元素求其平均值

3. 系数加权平均法

4. 隶属度限幅元素平均法

用所确定的隶属度值 α 对隶属度函数曲线进行切割，再对切割后大于等于该隶属度的所有元素进行平均，用这个平均值作为输出执行量，这种方法就称为隶属度限幅元素平均法。

不确定性推理

不确定性推理就是从不确定性的初始证据（即事实）出发，通过运用不确定性的知识，最终推出具有一定程度不确定性的结论。

不确定性推理的基本问题：

1.不确定性推理中的“不确定性”一般分为两类：

• 知识不确定性的表示：专家系统中知识的不确定性一般是由领域专家给出的，通常用一个数值表示，它表示相应知识的不确定性程度，称为知识的静态强度。
• 证据不确定性的表示：证据不确定性的表示方法与知识不确定性的表示方法一致，通常也用一个数值表示，代表相应证据的不确定性程度，称之为动态强度。

2.不确定性匹配算法及阈值的选择

3.组合证据不确定性的计算方法

即已知证据 E1 和 E2 的不确定性度量，求证据 E1 和 E2 的析取和合取的不确定性，常用的方法有：

4.不确定性的传递算法

5.结论不确定性的合成

不确定性推理方法的分类

模型法：在推理一级对确定性推理进行扩展，引入证据的不确定性及知识的不确定性。

模型方法又分为数值方法和非数值方法两类。数值方法对不确定性进行定量的描述，按其所依据的理论又可分为基于概率的方法和基于模糊理论的方法。

1. 逆概率法

2. 可信度方法

简称C-F模型。

1. 知识不确定性的表示： 知识的可信度CF(H,E)

知识是用产生式规则表示的，其一 般形式为：IF E THEN H (CF(H,E))

其中：

（1）前提E可以是命题的合取和析取组合

（2）结论H可为单一命题，也可以是复合命题

（3）CF(H, E) 为 确定性因子(Certainty factor)，简称可信度，用以量度规则的确定性（可信）程度。取值于[-1，1]，表示E为真时，对H的支持程度。CF(H, E)值越大，E就越支持H为真。

CF(H,E)定义为：CF(H,E) = MB(H,E ) - MD(H,E)

MB反映了证据对结论有利的一面，MD反映了证据对结论不利的一面。

MB(Measure Belief) 表示因与E匹配的证据出现，使H为真的信任增长度。

MD(Measure Disbelief)指不信任增长度，表示因与E匹配的证据出现，使H为真的不信任增长度。 MB和MD的定义为：

MB(H,E)与MD(H,E)是互斥的：当MB(H,E)>0时，MD(H,E)＝0 ；当MD(H,E)>0时，MB(H,E)＝0

CF(H,E)的计算公式：

2. 证据不确定性的表示：证据的可信度CF(E)

证据的不确定性也用可信度因子表示。如：CF(E)=0.6

CF(E)的取值范围：[-1，+1]；CF(E)>0:表示证据以某种程度为真；CF(E)<0:表示证据以某种程度为假。

CF(E)表示证据的强度，即动态强度。

设证据E所在的环境为S，则可用可信度**CF(E, S)**来表示E在S下的确定性程度，并有：CF(E, S) = MB(E, S) - MD(E, S)

若S下E为真，则 CF(E， S) = 1； 若E为假，则 CF(E，S) = -1； 若S对E的真值无影响，则CF(E，S) = 0。

3.组合证据不确定性的算法

4. 不确定性的传递

CF(H) = CF(H,E) × max［0，CF(E)］

5. 结论不确定性的合成算法：结论的可信度CF(H)

6. 举例

加权的不确定性推理

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举例：